UNA SINTESIS DE LOS CONJUNTOS NUMERICO REALES

Breve Reseña Histórica De Los Conjuntos Numéricos

En la Prehistoria, las tribus más primitivas, apenas si sabían distinguir entre poco y muchos. Más adelante, utilizaron un lenguaje corporal (dedos, mano, codo, pie...) y con ayuda de ramas, piedras, etc. consiguieron contar cantidades cada vez mayores.
Los babilónicos fueron los primeros que utilizaron el cero para los cálculos matemáticos. Los símbolos que representan a los números no han sido siempre los mismos:
· En Mesopotamia se representaban en forma de cuña.
En Egipto mediante jeroglíficos.
En Grecia, las letras de su alfabeto.
En Roma los símbolos que se usaron fueron: I=1;V=5; X=10; L=50; C = 100; D=500; M=1000.
Nuestro sistema de numeración actual que lo introdujeron los árabes y es de origen Hindú es: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9
Ya en los papiros egipcios, como el de Rhind, aparecen ejemplos del uso de las potencias y de extracciones correctas de las raíces cuadradas.
En las tablillas mesopotámicas existen tablas de cuadrados, de raíces cuadradas, de cubos y de raíces cúbicas de números naturales.
Los griegos clasificaron algunos números según sus propiedades. Los más importantes son los números triangulares y los cuadrados, aunque también distinguieron entre Números perfectos ( cuando es igual a la suma de sus divisores sin incluir el propio número), abundante ( si es mayor que la suma de sus divisores), defectuoso ( si es menor que la suma de sus divisores), amigos ( cuando cada uno coincide con la suma de los divisores del otro, primos y compuestos.
Eratóstenes de Cirene ( 276 - 194 a. C.) estudió los números primos y compuestos e ideó un método para encontrar los números primos llamado criba de Eratóstenes).
Fermat matemático del siglo XVII fue el creador de la moderna teoría de números.

Conjuntos Numéricos

Números Naturales N
Los puntos sucesivos significan: "y así sucesivamente"
Los N que se utilizan normalmente para contar objetos existentes.
En algunos casos este conjunto incluye el cero.
En ese caso se anota
N a veces se lo denomina: Enteros Positivos ( )
Lo podemos graficar mediante un diagrama de Venn de la siguiente manera:
También podemos verlos como una serie de puntos alineados y equidistantes
Operemos con estos números
3 +1=4
4 -3=1
3 -4=?

Como llegamos a una operación que no podemos resolver. Es necesario extender este conjunto N.
Números EnterosZ
Son los naturales más sus simétricos los llamados negativos y el cero.
Podemos graficar mediante un diagrama de Venn de la siguiente manera:
También podemos verlos de la siguiente manera
Operemos con estos números:
3-4=-1
2* 3=6
6: 2=3
3: 2= ?

Como llegamos a una operación que no podemos resolver. Es necesario extender este conjunto.
Números Racionales Q
Q = {Son de la forma a / b, tal que a y b pertenecen a Z y b es distinto de cero}

De aquí en adelante no aclararemos más que los denominadores deben ser distintos de cero.
También llamados fracciones
Podemos graficar mediante un diagrama de Venn de la siguiente manera:
También los podemos ver de la siguiente manera

Se muestran a continuación las reglas prácticas para convertir un número racional en notación decimal a notación racional.
Aproximación 1.
Un número con parte entera igual a cero y la parte decimal periódica pura.
El numerador será igual a la parte periódica y el denominador tantos nueves como dígitos contenga el período:
Aproximación 2.
Un número con parte entera distinta a cero y la parte decimal periódica pura.
Será igual a la parte entera más un racional que tendrá como numerador la parte periódica y como denominador tantos nueves como dígitos contenga el período:
Observe que este caso contiene al anterior. Compruebe con algunos ejemplos.
Aproximación 3.
Un número con parte entera distinta a cero y la parte decimal periódica impura.
Será igual la parte entera más un racional que tendrá como numerador a la parte no periódica seguida de la parte periódica menos la parte no periódica, y como denominador tantos nueves como dígitos contenga el período y tantos ceros como dígitos contenga la parte no periódica:
Observe que este caso contiene al anterior. Compruebe con algunos ejemplos.
Por lo tanto podremos tomar este último caso como regla general.

Números Irracionales I

Operemos con estos números
Reflexione sobre esta imposibilidad hasta comprender realmente.
Obviamente necesitamos crear un conjunto que agrupe este tipo de números.
Son los que no se pueden expresar como racionales
Podemos graficar mediante un diagrama de Venn de la siguiente manera:
Podemos graficar de la siguiente manera

Números Reales: R
Con lo cual obtenemos la denominada recta real. (Piense en las dos rectas cribadas sobrepuestas)
Recuerde: una recta es una sucesión infinita de puntos alineados.
Entre dos puntos siempre existe otro punto, o bien entre dos puntos existen infinitos puntos (reflexione sobre estas dos cuestiones)
A cada número real le corresponde un punto y a cada punto le corresponde un número real.
De aquí en más siempre que hablemos de número nos referiremos a un número real, en caso contrario se hará expresa mención.
A cada número le corresponde un punto y a cada punto le corresponde un número.

Números Complejos C
Lamentablemente aquí no terminan los problemas.
Por ejemplo si queremos resolver:
Los Números Complejos surgen al resolver ecuaciones algebraicas en las que hay que calcular raíces cuadradas de números negativos.
Algo parecido les ocurrió a los pitagóricos al intentar medir la diagonal de un cuadrado de lado 1, se dieron cuenta que no había ningún número (sólo conocían los Números Naturales y fraccionarios) que midiese la diagonal. Esto dio origen a los Números Reales.
Los Números Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales y en general los Reales se pueden representar como puntos de una recta (la recta de los Números Reales). Los Números Complejos podemos imaginarlos como puntos de un plano (el plano de los Números Complejos). En ese plano podemos trazar unos ejes perpendiculares que nos sirvan de referencia para localizar los puntos del plano.
Lo habitual es utilizar las coordenadas del punto (x,y). Cuando representamos un número complejo de esta forma decimos que está en forma cartesiana.
También se suele utilizar un vector para localizar el punto. En efecto, un vector con principio en el origen de coordenadas y fin en el punto, identifica el punto de una manera inequívoca. Ahora bien, ese vector lo podemos descomponer en dos vectores: un vector con principio en el origen de coordenadas y fin el valor de la abscisa del punto (x,y), y otro vector con principio el origen de coordenadas y fin la ordenada del punto (x,y). Entonces el punto se representaría como una suma de vectores a + b. Ahora bien, si definimos unos vectores unitarios sobre el eje X y sobre el eje Y, podemos representar el número de esta forma xr + yi. Los vectores r e i tienen módulo 1, además el vector i se define cumpliendo esta condición: i2 = -1. Cómo r tiene módulo 1 y sus potencias también son 1, no se escribe, quedando por lo tanto el número en la forma x + yi. Esta forma de representar un número complejo se llama forma binaria.
Una última forma de localizar el punto es dando la distancia (que llamaremos r) desde el punto al origen de coordenadas (medido sobre el segmento que une los dos puntos) y el ángulo (que llamaremos a ) que forma el segmento con el eje X. En este caso, se puede representar la posición del punto calculando las coordenadas (x = rcosa , y = rsena ), esta forma se llama forma trigonométrica. También se puede representar la posición del punto por alguna razón esta forma se llama forma polar.