MENTEFACTOS CONCEPTUALES. Por Miguel de Zubiria Samper

Los mentefactos conceptuales

1. Resumen
2. Introducción
3. ¿Qué caracteriza al mentefacto conceptual?
4. Concepto de mentefacto conceptual
5. El uso del mentefacto conceptual como herramienta estructuradota metacognitiva
6. Como elaborar mentefactos (modelación)
7. Para no cometer errores al hacer mentefactos (simulación)
8. Ejercitación

RESUMEN
Para Pedagogía Conceptual los ideogramas son herramientas fundamentales en la formación de estructuras metacognitivas en la mente humana.
Los mentefactos conceptuales son un tipo de ideograma original, propuesto por Miguel De Zubiría dentro del marco teórico de la Pedagogía Conceptual.
El propósito de este artículo es ilustrar de una manera sencilla, pero rigurosa y metódica qué son los mentefactos conceptuales, cuáles son sus potencialidades como estrategia metacognitiva y cómo pueden ser usados en la definición y delimitación de conceptos en cualquier área del conocimiento.
Palabras Clave
Excluida
Ideograma
Infraordinada
Isoordinada
Mentefacto
Noción
Pedagogía
Pedagogía Conceptual
Pensamiento
Supraordinada

INTRODUCCIÓN
Hechos-pensamiento
"La virtud de estos modelos es que nos permiten guardar una cantidad enorme de información en la mente... Este es el logro máximo de la clase de creación de modelos que llamamos ‘ciencia’, una de las formas de elaborar mundos."
Jerome Brunner (1988)

¿Conoce diagramas, cuadros sinópticos, mapas conceptuales?
Seguro, al menos alguno de ellos. Hoy, desde el primer año escolar hasta el último, los aprehendices los emplean. Cada esquema reporta valiosos servicios pues resume gráficamente conocimientos abstractos e intangibles, y continúan cumpliendo invaluables funciones durante toda la vida adulta. Sin diagramas, sin cuadros sinópticos, sin mapas conceptuales sería difícil (¿imposible?) dictar una conferencia, una clase, escribir un artículo, y muchísimo menos escribir un libro coherente y ordenado. Tal es el valor inmenso de los ideo-gramas. El valor de resumir gráficamente conocimientos abstractos e intangibles.

¿QUÉ CARACTERIZA AL MENTEFACTO CONCEPTUAL?
Aprehendiz: Siempre he sabido que los mentefactos son ideogramas, o bocetos gráficos que representan algo.
Pedagogo Conceptual: Es cierto, todo mentefacto es un ideograma por cuanto bosqueja ideas o pensamientos, como los cuadros sinópticos o diagramas. Pero, ¿su naturaleza ideográfica es lo único por decir de los mentefactos? Así, cuadros sinópticos, diagramas, mapas conceptuales y mentefactos conceptuales resultarían idénticos en lo que representan y cómo lo hacen. Los mentefactos conceptuales difieren radicalmente de los diagramas, los diagramas de árbol y otras representaciones de pensamientos.
A: ¿Entonces habría que buscar las características específicas de cada uno?
PC: Por el momento no, pero sí responder: ¿Qué caracteriza al mentefacto conceptual? Para responder a este interrogante es insuficiente con encontrar alguna característica común con otros ‘objetos’ similares, los cuadros sinópticos o los mapas conceptuales.
A: ¿Los mentefactos conceptuales son mapas conceptuales? Ambos son ideogramas y ambos son conceptuales, ¿son idénticos entonces?. Ambos tienen un centro y ramas hacia los lados.
PC: Los mentefactos conceptuales NO son mapas conceptuales. Poseen características distintas: uno es un ‘mapa’ y el otro un ‘mentefacto’. En segundo lugar, que sean ideogramas, que lo son, responde parte de la cuestión. Tan parcial como afirmar que “tanto perros como gatos son mamíferos”, que poco responde a ¿qué es un perro? o ¿qué es un gato? Pocos quedarían satisfechos con una respuesta tan general. El maestro Aristóteles insistiría en que falta la ‘diferencia específica’ entre perro y gato. En tercer lugar, que los mapas y los mentefactos conceptuales ostenten un centro y ramas laterales, puede reflejar una característica visual secundaria, como el color negro o gris de un perro, que en nada le hace ser perro.
A: Si bien escuché durante años este término en boca de tutores y en diversos seminarios, nunca me interrogué sobre el significado preciso de la palabra. ¿Cómo definir, de una vez, qué es un mentefacto conceptual?

Preguntas Conceptuales
Es imposible definir ‘de una vez por todas’ mentefacto conceptual. O mejor, si lo hiciera nadie entendería el significado profundo del término, porque aunque muchos creen comprender su significado poseen una definición pobre e imprecisa, como nuestro anterior aprehendiz. Definir no resulta un proceder apropiado ante ideas complejas como libertad, la solidaridad, el miedo, la función trigonométrica, clase social, democracia, mente humana, y otros tantos términos enmarañados que no son susceptibles de ser agotados por una definición.
En el marco de la Pedagogía Conceptual se asume que cualquier idea compleja involucra no una –la definición–, sino cuatro respuestas, precisamente las atinentes a su ser, cual si los conceptos fuesen cuaterniones. La tradición educativa define, no conceptualiza. Así ideas complejas acaban convertidas --siguiendo la penetrante intuición del maestro Carlos Vasco-- en “cadáveres de conceptos”, su ruina. Me resulta, pues, imposible definir mentefacto conceptual, lo convertiría en cadáver; nunca en la potente herramienta cognitiva que organiza volúmenes de conocimiento abstracto.
Conceptualizar requiere responder cuatro preguntas nucleares: pregunta 1: ¿qué lo caracteriza, en esencia?; pregunta 2: ¿en que grupo de cosas incluirlo?; pregunta 3: ¿cuáles son sus diferencias con objetos similares?; y pregunta 4: ¿existen subtipos suyos? Cuatro preguntas vertidas sobre la noción que intentamos conceptualizar. Son las cuestiones por descifrar, una a una, paso a paso, si pretendemos penetrar la esencia, el alma del mentefacto conceptual. Recorrido sugestivo al cual lo invito.

Estructura Argumental Afectiva
Estudiaremos cómo los mentefactos conceptuales dibujan y esquematizan conceptos extrayéndoles su ‘alma’. Con este conocimiento es fácil detectar la fortaleza o debilidad de nuestro propio conocimiento. Saber a ciencia cierta ¿qué sé?, ¿que no sé?, ¿qué es impreciso? Y no únicamente el Socrático saber que no sé.
Los mentefactos conceptuales simplifican y organizan nuestra ‘biblioteca mental’ pasada y sobre todo la ‘biblioteca’ futura. Decisivo para un tutor o para quien desee estructurar conocimientos en cualquier disciplina, por ser un recurso potentísimo.
Los mentefactos conceptuales permiten discutir vacíos, debilidades, inconsistencias de cualquier teoría; ayudan a los aprehendices con desventajas a superarlas, a los más aventajados a avanzar, y a los aprehendices talentosos a seguir adelante.

CONCEPTO DE MENTEFACTO CONCEPTUAL
Luego de este rodeo, en manera alguna inoficioso, contamos con las condiciones afectivas básicas para abordar de frente el interrogante cardinal del capítulo: ¿Qué es un mentefacto conceptual?
Pregunta 1: ¿Qué caracteriza, en esencia, al mentefacto conceptual?
Cada pregunta conceptual la responden uno, dos, tres o más pensamientos. En el caso que nos ocupa, dos pensamientos válidos y necesarios enumerados como Pensamiento 1.1 y Pensamiento 1.2.
Pensamiento 1.1. Los mentefactos conceptuales son herramientas creadas por Pedagogía Conceptual a propósito de re-presentar conceptos, del modo más sintético y fácil posible.
Pensamiento 1.2. El diseño de un mentefacto conceptual está regulado por un conjunto preciso de reglas conocidas como las reglas mentefactuales.
Comprobado que los mapas conceptuales no son conceptuales porque ligan en forma desordenada pensamientos, Pedagogía Conceptual creó los mentefactos conceptuales en la búsqueda de una mejor herramienta. Esta insatisfacción cognitiva exigió al autor penetrar en la noción concepto mantenida por siglos como los predicados cualesquiera sobre el tema (libertad, solidaridad, miedo, función trigonométrica, clase social, democracia, mente humana), noción aceptada sin crítica alguna por psicólogos y pedagogos, entre los últimos David Ausubel y Joseph Novack. Así, la palabra concepto resultó el conjunto azaroso de predicaciones sobre una cuestión. Era menester conceptualizar el término.
Hoy es claro que el concepto, en Pedagogía Conceptual, responde las preguntas esenciales que penetran la esencia de una noción. El mentefacto conceptual localiza cada repuesta en un sector especial del espacio. En las áreas: izquierda, superior, derecha e inferior. Cada sector responde una pregunta.
Los conceptos los arman cuatro grupos de Pensamientos: i) isoordinados, ii) supraordinados, iii) excluidos e iv) infraordinados. Los isoordinados muestran las esencialidades, los supraordinados el grupo que incluye al concepto, los excluidos señalan la(s) noción(es) más próxima(s) al concepto, y los infraordinados especifican las clases y los subtipos del concepto.
Con esta aclaración resulta sencillo leer cualquier mentefacto. Con alguna experiencia resulta hipersencillo leer mentefactos –no así crearlos–, basta con seguir las manecillas del reloj, e identificar los pensamientos isoordinados, supraordinados, excluidos e infraordinados.




Las Reglas Mentefactuales
Construir un mentefacto conceptual, o responder las preguntas esenciales parece sencillo, sin embargo requiere enorme cuidado y seguir unas reglas. Omitiéndolas dejaría de ser la poderosa herramienta metacognitiva que nos facilita tantas cosas. Estas reglas son:
• Regla de Preferencia: Preferir los pensamientos universales, que abarcan todo el sujeto. Al conceptualizar [[AMISTAD]], sería inferior el pensamiento [La amistad ocurre con frecuencia en la adolescencia] por ser modal con un cromatizador (Con frecuencia…), a [No hay amistad sin profunda intimidad psíquica entre dos individuos] ya que es universal.
• Regla de Género Próximo: Esta regla tiene dos presentaciones, positiva y negativa. La presentación positiva sugiere emplear el género más próximo al concepto. La negativa actúa cuando se demuestra que existe una clase supraordinada menor a la previamente propuesta, lo cual invalida la supraordinación previa. Como cuando del concepto [[PLANETA]] se propone la supraordinada [[CUERPO CELESTE]], pues todos los planetas pertenecen al conjunto cuerpos celestes, se viola esta regla, pues más cercana sería la supraordinada [[CUERPO CELESTE OPACO]], que debe elegirse.
• Regla de coherencia: El mentefacto respeta la acepción del concepto. Algunos pueden tener varias acepciones. El concepto [[HOMBRE]] difiere para la biología (como homínido), para la antropología (como ser cultural) y para la psicología (como individuo con personalidad). Igual el concepto [[INTELIGENCIA]] difiere si es leído desde la propuesta de Piaget o de la de Vygotski. Se prohíbe que el mentefacto cambie la acepción inicial o incluya pensamientos válidos para otra acepción.
• Regla de Recorrido: Cada exclusión deben explícitarse una a una. Cuando hay muchas, al menos explicite las dos más próximas al concepto. Por ejemplo, en el concepto [[SOLUCIÓN]] (Supraordinada [[MEZCLA HOMOGÉNEA]]) dice poco su exclusión [[DISPERSIÓN]] sin explicitar por qué lo es. En [[PRIMATE]] (Supraordinada [[MAMÍFERO EUTERIO]]), que tiene más de 15 exclusiones, se explicitarían dos o tres.
• Regla de Diferencia Específica: Bajo ninguna circunstancia, la propiedad que excluye puede compartirla otra clase del supraordinado, sería síntoma de que existe una clase supraordinada más próxima. Por ejemplo, [[PLANETA]], con supraordinada [[CUERPO CELESTE]] y exclusiones [[SATÉLITE]] [[ASTEROIDE]] [[ESTRELLA]], entre otras. Si al hacer la exclusión [[PLANETA]] difiere de [[ESTRELLA]] en que la estrella emite luz y el planeta no, no emitir luz también la comparte [[SATÉLITE]] y [[ASTEROIDE]]. Rota, la supraordinada queda mal (como comentamos en la Regla del Género Próximo). Este error también ocurre al hacer esenciales a un concepto pensamientos no esenciales a la supraordinada y, por lo tanto, válidos en las exclusiones (Regla de Anticontenencia).
• Regla de Propiedad: Las isoordinaciones proponen características esenciales. Esta regla apunta al meollo del concepto: el mentefacto explicita cuáles son sus propiedades básicas, características, que le pertenecen intrínsecamente.
• Regla de Anticontenencia: En ningún caso una isoordinada podrá ser una característica del supraordinado. Esto, aparte de que hace que las isoordinadas sean válidas para las exclusiones (Regla de Diferencia Específica), será insuficiente al caracterizar el concepto. El ejemplo aristotélico de proposición universal ha sido [Todos los hombres son mortales], sin embargo, ser mortal no puede ser una isoordinada de [[HOMBRE]] (aunque sea cierto para todos los hombres) porque es una isoordinada de la clase supraordinada (en realidad, de una supraordinada muy lejana: [[SER VIVO]]). Otro ejemplo: Pedro Martínez es un Martínez, pertenece a la familia y ha heredado muchas de sus características. Sin embargo, él es Pedro, un individuo singular, irrepetible, único… no un reflejo directo de su familia, no únicamente su supraordinado. Predicar de Pedro cualidades comunes a todos sus hermanos es importante, pero insuficiente. Las cualidades comunes constituyen el género, aunque él es él.
• Regla de Completez: El número de infraordinadas no tiene restricción. Sin embargo cada infraordinación debe ser total, contener todos los casos. El conjunto de la unión de las infraordinadas igualará al concepto completo. Incumplir esta regla sería como al enunciar a los integrantes de su familia olvidarse deliberadamente de algunos miembros.
Pregunta 2: ¿En qué grupo de ‘cosas’ incluir los mentefactos conceptuales?
Pensamiento 2. Por cuanto dibujan ideas los mentefactos conceptuales son ideo-gramas. Difieren del mapa conceptual que dibuja paquetes de pensamientos sin orden sobre un tema, y opuestos al cuadro sinóptico por cuanto éste representa solo las infraordinaciones. Todos son ideo-gramas o formas gráficas que dibujan estructuras ideativas; lo que los diferencia es el QUÉ representan o dibujan.
Como el mentefacto conceptual representa conceptos difiere del “mapa conceptual” que dibuja grupos o empaquetamientos de pensamientos sin orden, agrupados en torno a un tema (el agua, la soledad, los números fraccionarios) En idéntico sentido difiere del cuadro sinóptico, el cual dibuja clases incluidas unas en otras.
Los conceptuales son mentefactos por representar gráficamente un instrumento cognitivo de Pedagogía Conceptual: el concepto; igual a sus hermanos menores (los mentefactos nocionales, y proposicionales), a su hermano gemelo (los mentefactos precategoriales) y a su hermano mayor (el mentefacto categorial). Todos los elementos acabados de citar grafican algún instrumento de conocimiento: el mentefacto nocional un pensamiento elemental ; el mentefacto proposicional un pensamiento o proposición ; el mentefacto precategorial una precategoria o estructura ideativa donde habita una tesis, junto con pensamientos argumentales, derivados o definitorios.
Pregunta 3: ¿Cuáles son sus diferencias con objetos tan similares como los mentefactos proposicionales?
Idéntico el sujeto, los conceptuales y los proposicionales comparten igual supraordinada. Esto siempre ocurre, en virtud a que –por definición– solo se excluyen entre sí nociones ‘hermanas’ que comparten igual noción supraordinada . Segundo, siendo por necesidad ambos ideo-gramas, comparten la segunda supraordinada: la noción ideograma; luego es imposible buscar una diferencia en esta ruta. Si comparten la primera noción supraordinada tienen que compartir, sin excepción, todas las suprarodinadas superiores. ¿Descubre la razón?
Nos resta considerar el Pensamiento 3. El mentefacto proposicional difiere del mentefacto conceptual según el instrumento de conocimiento que representa. En efecto, siendo ambos mentefactos ‘hermanos’ la única y real diferencia la causa el instrumento de conocimiento que cada uno grafica, sea un pensamiento (mentefacto proposicional) o sea un concepto.
Pregunta 4: ¿Existen subtipos de mentefactos conceptuales?
Como croquis de la estructura íntima del concepto, los mentefactos varían en forma respetando la naturaleza del concepto, sea este: i) sincrónico, ii) diacrónico, iii) macroconcepto. Para el pensamiento 4, existen tres tipos de mentefactos conceptuales: a) sincrónicos, b) diacrónicos, y c) macroconceptos.



Diagrama. Mentefacto Sincrónico.

Este es un ejemplo de mentefacto conceptual sincrónico porque sus infraordinadas se refieren a las clases o subtipos del concepto. El cual permite afirmar, sin necesidad de saber química, que existen cuatro tipos de reacciones químicas: reacciones de descomposición, de síntesis, de sustitución y de doble sustitución. Como este mentefacto cumple la regla de la completez, en caso de que nos muestren cualquier reacción química podemos afirmar que es una reacción de uno de estos cuatro tipos.



Diagrama. Mentefacto Diacrónico

Este es un ejemplo de mentefacto conceptual diacrónico porque las infraordinadas refieren a las etapas en las cuales ocurre un proceso. Una reacción química es un proceso que se lleva a cabo en tres etapas: una en la cual solo existen los reactivos, una en la cual se forma un complejo activado y otra en la cual están presentes los reactivos. Por lo tanto, aunque no podemos ver las moléculas, sí podemos esquematizar qué sucede en una reacción cualquiera que nos muestren y cuáles son las características de cada etapa.

Jerarquizar
Del recorrido previo que estudia la naturaleza íntima del mentefacto conceptual, resta la última etapa: identificar el rol de cada macropensamiento:
i) isoordinado
ii) supraordinado
iii) excluido
iv) infraordinado
v) irrelevante. A muchos conceptos se les ‘agregan’ demasiados pensamientos irrelevantes, que no detectan los mapas conceptuales por carecer de normas de decisión.
Rol isoordinado: ¿caracteriza? Rol supraordinado: ¿incluye al concepto en un grupo? Rol excluido: ¿indica diferencias con objetos muy similares? Rol infraordinado: ¿enumera subtipos?
A fin de hacer la tarea más cercana al ‘cacharreo’ mentefactual real, le presento una lista de pensamientos, que juegan o no roles protagónicos. Decida el rol de cada uno. Numero cada pensamiento arbitrariamente con una letra de la A a la letra G. Comencemos.
Pensamiento A. Los mentefactos conceptuales son mentefactos por cuanto re-presentan conceptos
Pensamiento B. Los conceptos son herramientas muy útiles
Pensamiento C. Por el instrumento de conocimiento que cada uno representa, macropensamientos o conceptos, difieren los mentefactos proposicionales de los mentefactos conceptuales
Pensamiento D. Según el concepto que representa, existen tres subtipos de mentefactos conceptuales: a) simples, b) diacrónicos y c) de macroconceptos
Pensamiento E. Los conceptos difieren de las nociones
Pensamiento F. Los mentefactos conceptuales son herramientas creadas por Pedagogía Conceptual a propósito de re-presentar conceptos
Pensamiento G. El diseño de mentefactos conceptuales es regulado por un conjunto estricto y preciso de reglas conocidas como las reglas mentefactuales.
Ante cualquier pensamiento es válido y necesario autoformularse las preguntas de rigor conceptual. ¿Qué rol cumple el pensamiento A? Isoordinado: ¿caracteriza? Supraordinado: ¿incluye al concepto en un grupo? Excluido: ¿indica diferencias con objetos muy similares? Infraordinado: ¿enumera subtipos? --Al principio nos detendremos, en ocasiones por minutos, en cada pregunta posible; con el tiempo y la experticia la velocidad aumenta demasiado--. Juega un rol isoordinado pues destaca la cualidad esencial y definitoria de cualquier mentefacto conceptual: re-presentar conceptos.
¿Qué rol cumple el pensamiento B? (Pensamiento B. Los conceptos son herramientas muy útiles) Isoordinado: ¿caracteriza? Supraordinado: ¿incluye al concepto en un grupo? Excluido: ¿indica diferencias con objetos muy similares? Infraordinado: ¿enumera subtipos?
Pareciera que los conceptos son herramientas muy útiles indica una propiedad isoordinada. No es así. Ser útil --o inútil-- califica a un conjunto enorme de ‘objetos’, materiales y mentales, sin proponer ninguna diferencia específica. Menos puede jugar el rol supraordinado, nunca el supraordinado inmediato; ni excluido, ni menos el rol infraordinado. Queda la opción considerar el pensamiento B irrelevante hacia el concepto en cuestión.
¿Qué rol cumple el pensamiento C?: ¿caracteriza?, ¿incluye al concepto en un grupo?, ¿indica diferencias con objetos muy similares? o ¿enumera subtipos? Afirma que según el instrumento de conocimiento que represente –pensamientos o conceptos– diferencia entre proposicional y conceptual. Ciertamente, debe ser un pensamiento excluido que capta la diferencia entre mentefacto proposicional y conceptual.
Con la experiencia ganada hasta aquí es factible abordar de una vez los pensamientos que restan ¿Qué rol cumple el pensamiento D, cuál el pensamiento E, cuál F y cuál G? D juega un típico rol infraordinado pues enuncia los tipos de mentefactos conceptuales. E parece fuera de toda duda un pensamiento excluido; aunque si lo nota incumple una regla mentefactual: la regla de exclusión, que es mencionar únicamente los dos ‘hermanos’ más cercanos y próximos, pues las nociones se distancian de los conceptos. F juega el típico rol de pensamiento isoordinado. Y G aunque menos evidente que los demás, resulta uno isoordinado.

P1.1 Los mentefactos conceptuales son herramientas creadas por Pedagogía Conceptual a propósito de re-presentar conceptos.
P1.2 El diseño de mentefactos conceptuales es regulado por un conjunto estricto y preciso de reglas conocidas como las reglas mentefactuales.
P2 Los mentefactos conceptuales son mentefactos por cuanto re-presentan instrumentos cognitivos, difieren tanto de los mapas conceptuales por cuanto estos representan grupos de proposiciones sin orden, como de los cuadros sinópticos por cuanto estos representan infraordinaciones de clases.
P3. Por el instrumento de conocimiento que cada uno representa –macropensamientos o conceptos–, difieren los mentefactos proposicionales de los mentefactos conceptuales
p4. Según el concepto que representa, existen tres subtipos de mentefactos conceptuales: a) simples, b) diacrónicos, c) macroconceptuales.

EL USO DEL MENTEFACTO CONCEPTUAL COMO HERRAMIENTA ESTRUCTURADOTA METACOGNITIVA
1. Para la construcción general del concepto: Algunos conceptos son diferentes según el área desde la cual se estudia, e incluso según los autores a los cuales se hace referencia. Hay que definir y explicitar el criterio y las acepciones con las cuales se va a estudiar el concepto. En el caso de un concepto que esté en plena construcción (como aquellos sobre temas que están en la frontera del conocimiento), es necesario incluir la fecha, para diferenciarlo del concepto construido antes (cuando había menos información) y de los que se construirán después.
2. Para encontrar la clase supraordinada: Busque un conjunto que contenga al concepto. A veces es posible encontrar varios conjuntos que lo contengan. En ese caso debe escogerse el más cercano. Por ejemplo, si vamos a tratar el concepto [[FELINO]], encontramos que es un elemento de los conjuntos [[CARNÍVORO]] [[MAMÍFERO]], [[VERTEBRADO]] y [[ANIMAL]]. Escogemos entonces el más cercano, [[CARNÍVORO]]
3. Para encontrar las isoordinadas: Busque las características esenciales de ese concepto y redáctelas como proposiciones aristotélicas universales. Hay que excluir aquellas que sean características esenciales de la clase supraordinada (por ejemplo, en las isoordinadas de [[FELINO]] no debe estar la característica de alimentar a sus crías con leche, porque esa es una característica de la clase [[MAMÍFERO]]
a. Hay ocasiones en que la clase supraordinada más cercana es irrelevante para el contexto en el cual se está trabajando un concepto dado. En esos casos es posible trabajar una clase más alejada pero más relevante. Por ejemplo, si se quiere hacer énfasis en que los felinos son mamíferos, más que en el hecho de que sean carnívoros. La construcción correcta del concepto es con la supraordinada más cercana; las razones para elegir una supraordinada diferente son puramente didácticas y dependen del tema y del nivel de profundización con el cual se presenta
4. Para encontrar las exclusiones: Busque otros elementos del conjunto de la clase supraordinada y establezca las diferencias con el concepto. En caso de que sean muchas exclusiones, solo se tratarán las más relevantes según el contexto en el cual se esté trabajando el concepto. Es claro que el número de exclusiones y las características que las diferencian del concepto dependen de la supraordinada, por eso hay que tener mucho cuidado con la operación anterior. Una supraordinada muy lejana ocasiona una larga lista de exclusiones, con notables diferencias entre ellas. Así, una correcta operación de exclusión es un control de calidad para la operación de supraordinación
5. Para encontrar las infraordinadas: Busque los subtipos o clases que existen del concepto. En caso de que el concepto se refiera a un proceso que ocurre en varias etapas, se trata de un concepto diacrónico y sus infraordinadas serán cada una de las etapas, en el orden en el que ocurren
a. En algunas ocasiones, un concepto puede tener diferentes infraordinadas, según el criterio que se está utilizando para esta infraordinación. En este caso debe definirse este(os) criterio(s). Por ejemplo, los cambios en la materia se pueden infraordinar con varios criterios diferentes: 1) según si forman nuevas sustancias; 2) según si emiten o absorben calor; 3) según si son espontáneos o no; 4) según si son reversibles o no, etc.
b. El criterio con el cual se hace una infraordinación debe coincidir con el criterio de la supraordinación. Por ejemplo, sabemos que la materia es una forma de energía, pero al tratar el concepto [[ENERGÍA]] con supraordinada [[MAGNITUD FÍSICA ESCALAR]] no podemos sugerir las infraordinadas con el criterio de si esa energía tiene materia o no, porque es muy diferente al criterio de la supraordinada
c. En el caso de que haya necesidad de incluir o hacer referencia a infraordinadas de segundo o tercer orden, deben hacerse con el mismo criterio que la primera infraordinada. De igual manera ocurre si hay necesidad de hacer referencia a supraordinadas más lejanas




COMO ELABORAR MENTEFACTOS (Modelación)
En esta sección aprehenderá, mediante el empleo del algoritmo, a determinar si un instrumento de conocimiento es CONCEPTO o no:
Tomemos, por caso, el resumen de un texto explicativo como el que sigue:
“Desde el momento mismo en que los seres humanos tomaron conciencia de su medio ambiente y comenzó a trazarse el camino que llevaría a la civilización, los hombres entendieron la imperiosa necesidad de determinar, del modo más preciso posible, el tiempo que inexorablemente transcurría…
El reloj fue inventado como un instrumento útil para medir pequeñas fracciones de tiempo, por contraposición a los calendarios o almanaques, diseñados con la finalidad de medir grandes lapsos de tiempo, como los días, semanas, meses y años. El reloj entonces se construyó para medir horas, minutos y en últimas segundos, esto es, las fracciones en las que se divide el día…
Los relojes pueden ser clasificados en dependencia de su tecnología de construcción, los cuales van desde los sencillos relojes de arena y agua, hasta los sofisticados relojes electrónicos o atómicos, pasando obviamente por los relojes mecánicos, como los de péndulo, automáticos y de cuerda…
También es factible clasificarlos según su uso, encontrándose divididos en relojes propiamente dichos y cronómetros, distinguiéndose porque los primeros miden intervalos continuos y los segundos intervalos de tiempo discontinuos…”
1. ¿Se explicitan las características esenciales de algún concepto?
Si. Se habla del RELOJ, y se establece que: El reloj entonces se construyó para medir horas, minutos y en últimas segundos, esto es, las fracciones en las que se divide el día…La isoordinada quedaría: El reloj mide fracciones del día: horas, minutos y segundos.
2. ¿Se define como miembro de algún conjunto?
Si. Aunque no con total explicitación, se puede inferir fácilmente que se refiere a un INSTRUMENTO PARA MEDIR EL TIEMPO, esto es, la supraordinada.
3. ¿Se establecen diferencias con algún miembro del conjunto?
Si. En la sección: El reloj fue inventado como un instrumento útil para medir pequeñas fracciones de tiempo, por contraposición a los calendarios o almanaques, diseñados con la finalidad de medir grandes lapsos de tiempo, como los días, semanas, meses y años…No solo se puede notar la supraordinada, sino que se establece una clara diferencia con los ALMANAQUES, instrumentos útiles para medir intervalos de tiempo superiores al día.
Hasta este punto podemos ya claramente enunciar que se trata de un concepto, el de RELOJ. Veamos las infraordinadas:
4. ¿Se refiere a un proceso que ocurre en varias etapas?
No. Aquí no se habla de ningún proceso. Luego es un concepto SINCRÓNICO.
5. ¿El criterio de infraordinación se corresponde con el de supraordinación?
Si. En ambos casos se habla de tipos de..., en la supraordinada, de tipos de instrumentos de tiempo, en las infraordinadas de tipos de RELOJ, según su tecnología o según su uso.

Veamos otro caso con el fin de aplicar el procedimiento. En una exposición sobre tecnologías de la comunicación a un grupo de empresarios, inversionistas y políticos, se habla de la telefonía móvil en los siguientes términos:
“Actualmente la Telefonía Móvil está ampliamente avanzada en los países industrializados, encontrándose en la denominada tercera generación. En Latinoamérica nos encontramos en la llamada generación 2.5, aunque muchos son los equipos que operan con tecnologías de más antigüedad…
Entremos a definir con exactitud la telefonía móvil. La definiremos como un tipo de telefonía inalámbrica que funciona con base en el principio de células, esto es, la división en sectores de una ciudad o región cubiertas por estaciones repetidoras de la señal radial portadora. En esto se diferencia de los teléfonos inalámbricos de línea, que solo son pequeños receptores de una consola conectada a una línea telefónica clásica, o de los teléfonos satelitales, aparatos que transmiten señales en directa comunicación con satélites de telecomunicaciones…
Actualmente hablamos de dos tecnologías de teléfonos móviles: los llamados celulares y los PCS. Sus funciones y apariencia son idénticas, así como la forma en qué funcionan, a través de células, mas sin embargo presentan una diferencia fundamental: la banda portadora de la señal. En el caso de los celulares se encuentra entre los 800 y 900 MHz de potencia, mientras los PCS funcionan en las bandas entre 1800 y 1900 MHz…
Hoy en día los teléfonos móviles no son solo aparatos de comunicación por voz, son auténticas plataformas de comunicación: llamadas, mensajes de voz, texto e imagen, acceso a Internet,…”
a. ¿Se explicitan las características esenciales de algún concepto?
Si. Se habla de la TELEFONÍA MÓVIL estableciendo que… funciona con base en el principio de células, esto es, la división en sectores de una ciudad o región cubiertas por estaciones repetidoras de la señal radial portadora.
b. ¿Se define como miembro de algún conjunto?
Si. Explícitamente se estipula que la TELEFONÍA MÓVIL es… un tipo de telefonía inalámbrica.
c. ¿Se establecen diferencias con algún miembro del conjunto?
Si. En la sección: En esto se diferencia de los teléfonos inalámbricos de línea, que solo son pequeños receptores de una consola conectada a una línea telefónica clásica, o de los teléfonos satelitales, aparatos que transmiten señales en directa comunicación con satélites de telecomunicaciones.
Hasta este punto podemos ya claramente decir que se trata de un concepto, el de TELEFONÍA MÓVIL. Veamos las infraordinadas:
d. ¿Se refiere a un proceso que ocurre en varias etapas?
No. Aquí no se habla de ningún proceso. Luego es un concepto SINCRÓNICO.
e. ¿El criterio de infraordinación se corresponde con el de supraordinación?
Si. En ambos casos se habla de tipos de..., en la supraordinada, de tipos de telefonía inalámbrica, en las infraordinadas de tipos TELEFONÍA MÓVIL.

A continuación se presentan los apartes de un texto pedagógico, para ilustrar nuevamente el procedimiento:
“La tecnología es aquella rama de los dominios del conocimiento humano que se caracteriza por su afán de mantener y mejorar las condiciones de vida humanas, a través del conocimiento y manipulación de los objetos naturales, su transformación en artefactos y la proposición de técnicas y metodologías que redunden en un mayor control de todas las variables del entorno…
Las ciencias naturales, aunque conocen los objetos – tanto los naturales como los artificiales – no pretenden transformarlos, manipularlos o controlarlos, sino más bien entenderlos, reconocer sus propiedades, características, funciones, definir una clasificación de los mismos que facilite su análisis y comprensión. Por ello, aunque muy cercanas entre sí por sus objetos de conocimiento y muchos de sus métodos de trabajo, la ciencia y la tecnología son dos dominios diferentes, aunque claramente complementarios…
Actualmente se habla de los siguientes grandes momentos de la tecnología:
1. La tecnología de la edad de piedra, que significó el primer momento en que la humanidad era capaz de dominar algunas de sus realidades. Hitos de este momento son el dominio del fuego y la construcción de herramientas y armas mediante el trabajo de la piedra
2. La revolución agrícola, que supuso un inmenso avance al introducir el control de especies vivas en beneficio del ser humano. Significó también el camino hacia la civilización tal y como la conocemos en la actualidad, en tanto la posibilidad de acumular excedentes alimenticios permitió el florecimiento de las poblaciones permanentes
3. La edad de los metales, el momento en el cual se da la auténtica sofisticación de las armas y herramientas. Gracias al dominio de los metales se perfecciona el trabajo agrícola y urbanístico, así como se da la posibilidad de organizar pro primera vez ejércitos
4. La revolución industrial, que implicó la masificación de la tecnología y sus productos. Gracias a la revolución industrial grandes partes de la población tuvieron acceso a una mejor calidad de vida, en tanto la producción en masa permitió el abaratamiento de los precios de todos los artículos. Supuso además el perfeccionamiento de la máquina
5. La revolución informática, último hito de la tecnología humana en donde se perfecciona la capacidad de comunicación masiva gracias a la tecnología electrónica”
a. ¿Se explicitan las características esenciales de algún concepto?
Si. Se habla de la TECNOLOGÍA estableciendo que… se caracteriza por su afán de mantener y mejorar las condiciones de vida humanas, a través del conocimiento y manipulación de los objetos naturales, su transformación en artefactos y la proposición de técnicas y metodologías que redunden en un mayor control de todas las variables del entorno…
b. ¿Se define como miembro de algún conjunto?
Si. Explícitamente se estipula que la TECNOLOGÍA es… es aquella rama de los dominios del conocimiento humano
c. ¿Se establecen diferencias con algún miembro del conjunto?
Si. En la sección: Las ciencias naturales, aunque conocen los objetos – tanto los naturales como los artificiales – no pretenden transformarlos, manipularlos o controlarlos, sino más bien entenderlos, reconocer sus propiedades, características, funciones, definir una clasificación de los mismos que facilite su análisis y comprensión. Por ello, aunque muy cercanas entre sí por sus objetos de conocimiento y muchos de sus métodos de trabajo, la ciencia y la tecnología son dos dominios diferentes, aunque claramente complementarios…
.Hasta este punto podemos ya claramente decir que se trata de un concepto, el de TECNOLOGÍA. Veamos las infraordinadas:
d. ¿Se refiere a un proceso que ocurre en varias etapas?
Si. Se establecen los diferentes momentos de la TECNOLOGÍA, desde la Edad de los Metales hasta la Revolución Informática. Luego es un concepto DIACRÓNICO.

PARA NO COMETER ERRORES AL HACER MENTEFACTOS (Simulación)
El propósito de esta sección es reconocer los principales errores que pueden cometerse al determinar si un instrumento de conocimiento es CONCEPTO o no:
1. Pensar que se trata de un concepto cuando en un texto o un discurso se enuncian y explican sus propiedades y características. Por muchas que estas sean, las propiedades y características tan solo son las isoordinadas del concepto.
2. Cuando se establecen cuadros comparativos tampoco se puede hablar de conceptos. En estos cuadros por lo general se busca encontrar diferencias y similitudes con base en características. Esto implicaría únicamente isoordinar y excluir
3. Usar el criterio “todo y parte” como válido en las supraordinadas e infraordinadas. Por ejemplo, las infraordinadas de automóvil no son: motor, chasis, carrocería, ruedas, sistema de transmisión y frenado. Estas son partes de todo vehículo, pero no son TIPOS de vehículo, el cual si es un criterio lógico de infraordinación. Para automóvil infraordinadas válidas serían: sedan, coupé, station wagon, 4x4
4. Mantener las características de la isoordinada y la supraordinada como idénticas. Esto es, que las características del conjunto que contiene al concepto sean las mismas. Es lógico que la isoordinada tenga las mismas características de la supraordinada, pero DEBE poseer al menos una característica propia, que además lo diferencie de otro concepto propio de este conjunto
5. Establecer como infraordinadas clases que no posean todas las isoordinadas del concepto. Es importante esto en tanto todo subtipo de un concepto debe poseer sus mismas características y propiedades esenciales.
6. Mezclar criterios de conceptualización para armar un mismo concepto. En dependencia de la disciplina el concepto variará, en la mayoría de las ocasiones, de una forma muy profunda. A modo de ejemplo, el concepto de HUMANO no es el mismo a nivel antropológico que a nivel sociológico o incluso psicológico.
7. En general, cuando se enuncian algunas ideas vagas – o por lo menos no muy precisas – de alguna situación no se puede hablar de un concepto, en tanto los conceptos requieren precisión sobre cada una de sus cuatro operaciones metacognitivas.

EJERCITE Y EVALÚE SU CAPACIDAD PARA HACER MENTEFACTOS (Ejercitación)
El propósito último es que sea capaz de reconocer, incluso de armar conceptos, a partir de la literatura. Le recomendamos que se documente y establezca los siguientes conceptos:
a. Concepto RELOJ
b. Concepto TELEFONÍA MÓVIL
c. Concepto TECNOLOGÍA
d. Concepto HUMANO
e. Concepto LÁPIZ
f. Concepto COMPUTADOR
g. Concepto CASA
h. Concepto FLOR
i. Concepto PANTALÓN
j. Concepto REINO ANIMAL
k. Concepto VERBO
l. Concepto ENFERMEDAD
m. Concepto SILLA


Miguel De Zubiría Samper
gdsilvag@pedagogiaconceptual.com

Psicólogo U. Javeriana. Colombia.
Director Científico Fundación Internacional de Pedagogía Conceptual Alberto Merani Director Nueropiscológico Instituto de Neurociencias Aplicadas
Presidente Academia Colombiana de Pedagogía y Educación

UNA SINTESIS DE LOS CONJUNTOS NUMERICO REALES

Breve Reseña Histórica De Los Conjuntos Numéricos

En la Prehistoria, las tribus más primitivas, apenas si sabían distinguir entre poco y muchos. Más adelante, utilizaron un lenguaje corporal (dedos, mano, codo, pie...) y con ayuda de ramas, piedras, etc. consiguieron contar cantidades cada vez mayores.
Los babilónicos fueron los primeros que utilizaron el cero para los cálculos matemáticos. Los símbolos que representan a los números no han sido siempre los mismos:
· En Mesopotamia se representaban en forma de cuña.
En Egipto mediante jeroglíficos.
En Grecia, las letras de su alfabeto.
En Roma los símbolos que se usaron fueron: I=1;V=5; X=10; L=50; C = 100; D=500; M=1000.
Nuestro sistema de numeración actual que lo introdujeron los árabes y es de origen Hindú es: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9
Ya en los papiros egipcios, como el de Rhind, aparecen ejemplos del uso de las potencias y de extracciones correctas de las raíces cuadradas.
En las tablillas mesopotámicas existen tablas de cuadrados, de raíces cuadradas, de cubos y de raíces cúbicas de números naturales.
Los griegos clasificaron algunos números según sus propiedades. Los más importantes son los números triangulares y los cuadrados, aunque también distinguieron entre Números perfectos ( cuando es igual a la suma de sus divisores sin incluir el propio número), abundante ( si es mayor que la suma de sus divisores), defectuoso ( si es menor que la suma de sus divisores), amigos ( cuando cada uno coincide con la suma de los divisores del otro, primos y compuestos.
Eratóstenes de Cirene ( 276 - 194 a. C.) estudió los números primos y compuestos e ideó un método para encontrar los números primos llamado criba de Eratóstenes).
Fermat matemático del siglo XVII fue el creador de la moderna teoría de números.

Conjuntos Numéricos

Números Naturales N
Los puntos sucesivos significan: "y así sucesivamente"
Los N que se utilizan normalmente para contar objetos existentes.
En algunos casos este conjunto incluye el cero.
En ese caso se anota
N a veces se lo denomina: Enteros Positivos ( )
Lo podemos graficar mediante un diagrama de Venn de la siguiente manera:
También podemos verlos como una serie de puntos alineados y equidistantes
Operemos con estos números
3 +1=4
4 -3=1
3 -4=?

Como llegamos a una operación que no podemos resolver. Es necesario extender este conjunto N.
Números EnterosZ
Son los naturales más sus simétricos los llamados negativos y el cero.
Podemos graficar mediante un diagrama de Venn de la siguiente manera:
También podemos verlos de la siguiente manera
Operemos con estos números:
3-4=-1
2* 3=6
6: 2=3
3: 2= ?

Como llegamos a una operación que no podemos resolver. Es necesario extender este conjunto.
Números Racionales Q
Q = {Son de la forma a / b, tal que a y b pertenecen a Z y b es distinto de cero}

De aquí en adelante no aclararemos más que los denominadores deben ser distintos de cero.
También llamados fracciones
Podemos graficar mediante un diagrama de Venn de la siguiente manera:
También los podemos ver de la siguiente manera

Se muestran a continuación las reglas prácticas para convertir un número racional en notación decimal a notación racional.
Aproximación 1.
Un número con parte entera igual a cero y la parte decimal periódica pura.
El numerador será igual a la parte periódica y el denominador tantos nueves como dígitos contenga el período:
Aproximación 2.
Un número con parte entera distinta a cero y la parte decimal periódica pura.
Será igual a la parte entera más un racional que tendrá como numerador la parte periódica y como denominador tantos nueves como dígitos contenga el período:
Observe que este caso contiene al anterior. Compruebe con algunos ejemplos.
Aproximación 3.
Un número con parte entera distinta a cero y la parte decimal periódica impura.
Será igual la parte entera más un racional que tendrá como numerador a la parte no periódica seguida de la parte periódica menos la parte no periódica, y como denominador tantos nueves como dígitos contenga el período y tantos ceros como dígitos contenga la parte no periódica:
Observe que este caso contiene al anterior. Compruebe con algunos ejemplos.
Por lo tanto podremos tomar este último caso como regla general.

Números Irracionales I

Operemos con estos números
Reflexione sobre esta imposibilidad hasta comprender realmente.
Obviamente necesitamos crear un conjunto que agrupe este tipo de números.
Son los que no se pueden expresar como racionales
Podemos graficar mediante un diagrama de Venn de la siguiente manera:
Podemos graficar de la siguiente manera

Números Reales: R
Con lo cual obtenemos la denominada recta real. (Piense en las dos rectas cribadas sobrepuestas)
Recuerde: una recta es una sucesión infinita de puntos alineados.
Entre dos puntos siempre existe otro punto, o bien entre dos puntos existen infinitos puntos (reflexione sobre estas dos cuestiones)
A cada número real le corresponde un punto y a cada punto le corresponde un número real.
De aquí en más siempre que hablemos de número nos referiremos a un número real, en caso contrario se hará expresa mención.
A cada número le corresponde un punto y a cada punto le corresponde un número.

Números Complejos C
Lamentablemente aquí no terminan los problemas.
Por ejemplo si queremos resolver:
Los Números Complejos surgen al resolver ecuaciones algebraicas en las que hay que calcular raíces cuadradas de números negativos.
Algo parecido les ocurrió a los pitagóricos al intentar medir la diagonal de un cuadrado de lado 1, se dieron cuenta que no había ningún número (sólo conocían los Números Naturales y fraccionarios) que midiese la diagonal. Esto dio origen a los Números Reales.
Los Números Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales y en general los Reales se pueden representar como puntos de una recta (la recta de los Números Reales). Los Números Complejos podemos imaginarlos como puntos de un plano (el plano de los Números Complejos). En ese plano podemos trazar unos ejes perpendiculares que nos sirvan de referencia para localizar los puntos del plano.
Lo habitual es utilizar las coordenadas del punto (x,y). Cuando representamos un número complejo de esta forma decimos que está en forma cartesiana.
También se suele utilizar un vector para localizar el punto. En efecto, un vector con principio en el origen de coordenadas y fin en el punto, identifica el punto de una manera inequívoca. Ahora bien, ese vector lo podemos descomponer en dos vectores: un vector con principio en el origen de coordenadas y fin el valor de la abscisa del punto (x,y), y otro vector con principio el origen de coordenadas y fin la ordenada del punto (x,y). Entonces el punto se representaría como una suma de vectores a + b. Ahora bien, si definimos unos vectores unitarios sobre el eje X y sobre el eje Y, podemos representar el número de esta forma xr + yi. Los vectores r e i tienen módulo 1, además el vector i se define cumpliendo esta condición: i2 = -1. Cómo r tiene módulo 1 y sus potencias también son 1, no se escribe, quedando por lo tanto el número en la forma x + yi. Esta forma de representar un número complejo se llama forma binaria.
Una última forma de localizar el punto es dando la distancia (que llamaremos r) desde el punto al origen de coordenadas (medido sobre el segmento que une los dos puntos) y el ángulo (que llamaremos a ) que forma el segmento con el eje X. En este caso, se puede representar la posición del punto calculando las coordenadas (x = rcosa , y = rsena ), esta forma se llama forma trigonométrica. También se puede representar la posición del punto por alguna razón esta forma se llama forma polar.

CONOCIMIENTO, MANEJO Y DOMINIO DE LOS CONJUNTOS NUMERICOS REALES.

Como docente del área de matemáticas en educación básica y media, por más de 12 años, he encontrado que uno de los vacios y dificultades más frecuentes en los estudiantes de 8°, 9°, 10° y 11° es el del CONOCIMIENTO, MANEJO Y DOMINIO DE LOS CONJUNTOS NUMERICOS REALES su diferenciación, aplicación y uso adecuado.

Los Conjuntos Numéricos Reales deben ser de conocimiento, manejo y dominio común de un estudiante al finalizar la educación básica (grado 9°), sin embargo encontramos una insuficiencia marcada y generalizada con respecto a este tema en estudiantes que terminan su bachillerato y aún en universitarios de los primero semestres.

Los Conjuntos Numéricos Reales forman parte fundamental del “Conteo”[1] una de las cuatro dimensiones o ejes conceptuales[2] y actualmente conocido como “pensamiento numérico” y aplicado al “pensamiento geométrico”, tenidos en cuenta para la evaluación por competencias del “Nuevo Examen de Estado” programado por el ICFES en el área de Matemáticas.

Es importante además, reconocer que el campo de los números ha tomado tal importancia dentro de las Matemáticas hasta el punto de que hoy día la Geometría ha ido cediendo terreno al estudio de su representación mediante ecuaciones y el ideal es poder traducir finalmente una situación por medio de números, plantear un problema con ecuaciones y resolverlo. Recordemos que los avances en diferentes campos de la Ciencia y la Tecnología por ejemplo la Informática; ha tenido que utilizar dichas expresiones como punto de partida para el desarrollo de sus aplicaciones, y muchas otras ciencias que tienen que ver directamente con aplicaciones matemáticas para su desarrollo.

En esta oportunidad quiero aprovechar el uso de las herramientas y ambientes virtuales de aprendizaje y la aplicación de la Pedagogía Conceptual, con un potente instrumento de

conocimiento como lo son los mentefactos conceptuales que por sus propiedades sintéticas visuales [3] que permiten una mayor apropiación de conocimientos y de aprehender el tema de manera sistemática y ordenada.

Espero que este trabajo sea un aporte fundamental para estudiantes de estos niveles: de media 10° y 11° y primeros semestre de carreras universitarias que involucren Matemáticas y porque no para maestros que quieran conocer más de cerca el uso y aplicación de los mentefactos conceptuales y adoptarlos en su quehacer diario, aunque no conozcan mucho de la Pedagogía Conceptual.
[1] El conteo; comenzando desde el concepto de número asociado inicialmente a la noción de cantidad, luego la construcción de los diferentes sistemas numéricos, sus operaciones, relaciones y propiedades, además de sus identificación, manejo y uso.
[2] MEN, ICFES, Nuevo Examen de Estado. Cambios para el Siglo XXI. Modulo de Matemáticas Pag. 13.
[3] Los diagramas constituyen potentes sintetizadores y los mentefactos son diagramas especializados en sintetizar cognitivamente.